已知雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的離心率e=
2
且點P(3,
7
)
在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)記O為坐標(biāo)原點,過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,若△OEF的面積為2
2
,求直線l的方程.
(1)由已知e=
2
可知雙曲線為等軸雙曲線,則a=b,
所以,雙曲線方程為x2-y2=a2,
又點P(3,
7
)
在雙曲線C上,∴32-(
7
)2=a2
,
解得a2=2,b2=2,
所以,雙曲線C的方程為
x2
2
-
y2
2
=1
;
(2)由題意直線l的斜率存在,故設(shè)直線l的方程為y=kx+2
y=kx+2
x2
2
-
y2
2
=1
得(1-k2)x2-4kx-6=0,
設(shè)直線l與雙曲線C交于E(x1,y1)、F(x2,y2),則x1、x2是上方程的兩不等實根,
∴1-k2≠0,且△=16k2+24(1-k2)>0,即k2<3且k2≠1①,
這時x1+x2=
4k
1-k2
x1x2=-
6
1-k2

S△OEF=
1
2
|OQ|•|x1-x2|=
1
2
×2×|×1-x2|=|x1-x2|=2
2

(x1+x2)2-4x1x2=8,∴(
4k
1-k2
)2+
24
1-k2
=8

整理得3-k2=(k2-1)2,即k4-k2-2=0,∴(k2+1)(k2-2)=0
又k2+1>0,∴k2-2=0,∴k=±
2
,適合①式.
所以,直線l的方程為y=
2
x+2
y=-
2
x+2
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,EP交圓于E、C兩點,PD切圓于D,G為CE上一點且,連接DG并延長交圓于點A,作弦AB垂直EP,垂足為F.
(1)求證:AB為圓的直徑;
(2)若AC=BD,求證:.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點A(-2,0),B(2,0),M(-1,0),直線PA,PB相交于點P,且它們的斜率之積為-
3
4

(1)求動點P的軌跡方程;
(2)試判斷以PB為直徑的圓與圓x2+y2=4的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)直線PM與橢圓的另一個交點為N,求△OPN面積的最大值(O為坐標(biāo)原點).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知三點P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0).
(Ⅰ)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點P、F1、F2關(guān)于直線y=x的對稱點分別為P′、F1′、F2′,求以F1′、F2′為焦點且過點P′的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
2
,橢圓C的上、下頂點分別為A1,A2,左、右頂點分別為B1,B2,左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.原點到直線A2B2的距離為
2
5
5

(1)求橢圓C的方程;
(2)過原點且斜率為
1
2
的直線l,與橢圓交于E,F(xiàn)點,試判斷∠EF2F是銳角、直角還是鈍角,并寫出理由;
(3)P是橢圓上異于A1,A2的任一點,直線PA1,PA2,分別交x軸于點N,M,若直線OT與過點M,N的圓G相切,切點為T.證明:線段OT的長為定值,并求出該定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知定點F1(-
3
,0),F(xiàn)2
3
,0),動點R在曲線C上運動且保持|RF1|+|RF2|的值不變,曲線C過點T(0,1),
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)M是曲線C上一點,過點M作斜率分別為k1和k2的直線MA,MB交曲線C于A、B兩點,若A、B關(guān)于原點對稱,求k1•k2的值;
(Ⅲ)直線l過點F2,且與曲線C交于PQ,有如下命題p:“當(dāng)直線l垂直于x軸時,△F1PQ的面積取得最大值”.判斷命題p的真假.若是真命題,請給予證明;若是假命題,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

拋物線的頂點在原點,焦點在x軸的正半軸上,直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點,且|AB|=
8
6
11

(1)求拋物線的方程;
(2)在x軸上是否存在一點C,使△ABC為正三角形?若存在,求出C點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

以拋物線y2=4x的焦點為右焦點的橢圓,上頂點為B2,右頂點為A2,左、右焦點為F1、F2,且|
F1B2
|cos∠B2F1F2=
3
3
|
OB2
|,過點D(0,2)的直線l,斜率為k(k>0),l與橢圓交于M,N兩點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若M,N的中點為H,且
OH
A2B2
,求出斜率k的值;
(3)在x軸上是否存在點Q(m,0),使得以QM,QN為鄰邊的四邊形是個菱形?如果存在,求出m的范圍;否則,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
2
+y2=1
的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,下頂點為A,點P是橢圓上任一點,⊙M是以PF2為直徑的圓.
(Ⅰ)當(dāng)⊙M的面積為
π
8
時,求PA所在直線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)⊙M與直線AF1相切時,求⊙M的方程;
(Ⅲ)求證:⊙M總與某個定圓相切.

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同步練習(xí)冊答案