Question

（2010•宿州三模）設(shè)函數(shù)f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2(x∈R)．
（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）求y=f（x）在[0，a]（a＞0）上的最小值；
（III）當x∈（1，+∞）時，證明：?n∈N+，ex-1＞

xn

n!

對任意n∈N₊．

Answer 1

分析：（I）先求出導函數(shù)，然后令f′（x）=0，判定導數(shù)符號，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）討論a與1的大小，根據(jù)函數(shù)在[0，a]上的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）在[0，a]上的最小值；
（III）設(shè)gn(x)=ex-1-

xn

n!

當n=1時，只需證明g₁（x）=e^x-1-x＞0，根據(jù)g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上單調(diào)性可證得結(jié)論，然后利用數(shù)學歸納法證明即可．

解答：解：（I）f′（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1）…（2分）
令f′（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	減	極小	增	極大	減	極小	增

函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間為（-2，0）和（1，+∞），減區(qū)間為（-∞，-2）和（0，1）…（5分）
（II）①當0＜a≤1時，f′（x）＜0，f（x）在[0，a]上遞減，
∴fmin(x)=f(a)=a2(ea-1-1)-

a3

3

．
②當a＞1時，由（I）知∴fmin(x)=f(1)=-

1

3

∴f（x）在[0，a]上的最小值是
∴fmin(x)=

a2(ea-1-1)- a3 3 ，(0＜a≤1) - 1 3 ，(a＞1)

…（8分）
（III）設(shè)gn(x)=ex-1-

xn

n!

當n=1時，只需證明g₁（x）=e^x-1-x＞0
當x∈（1，+∞）時

g′1(x)=ex-1-1＞0，

所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上單調(diào)增函數(shù)
∴g₁（x）＞g（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x；  …（10分）
當x∈（1，+∞）時，假設(shè)n=k時不等式成立，即

gk(x)=ex-1- xk k! ＞0，

當n=k+1時，
因為

g′k+1(x)=ex-1- (k+1)xk (k+1)! =ex-1- ek k! ＞0，

所以g'_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函數(shù)
所以

gk+1(x)＞gk+1(1)=e0- 1 (k+1)! =1- 1 (k+1)! ＞0

即當n=k+1時，不等式成立．
所以當x∈（1，+∞）時，?n∈N+，ex-1＞

xn

n!

…（14分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，同時考查了數(shù)學歸納法證明不等式，是一道綜合題，有一定的難度．