已知定點A(-2，)，點F為橢圓=1的右焦點，點M的橢圓上移動時，求|AM|+2|MF|的最小值，并求此時點M的坐標(biāo).

解析：由橢圓方程，得a=4,b=2,c=2,

∴e=,右焦點F(2，0)，右準(zhǔn)線l：x=8.

設(shè)點M到右準(zhǔn)線l的距離為d,則,即|2MF|=d.

∴|AM|+2|MF|=|AM|+d.

由于A在橢圓內(nèi)，過A作AK⊥l，K為垂足，易證|AM|即為|AM|+d的最小值，其值為8-(-2)=10.

此時M點縱坐標(biāo)為，得橫坐標(biāo)為2.

∴|AM|+2|MF|的最小值為10，這時點M的坐標(biāo)為(2，).

溫馨提示

(1)轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想，本題利用第二定義，將看似沒有“出路”的問題巧妙地化解了.

(2)本題實際上要求對橢圓的第二定義有深刻的理解，在后面的雙曲線、拋物線中也有類似問題，注意總結(jié)規(guī)律.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點A(-2，
3
)，F(xiàn)是橢圓
x2
16
+
y2
12
=1的右焦點，在橢圓上求一點M，使|AM|+2|MF|取得最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點A(-2，
3
)，F(xiàn)是橢圓
x2
16
+
y2
12
=1的右焦點，M是橢圓上一點，滿足|AM|+2|MF|的值最小，則點M的坐標(biāo)和|AM|+2|MF|的最小值分別為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點A(2,0),點Q是圓x2+y2=1上的動點,∠AOQ的平分線交AQ于M,當(dāng)點Q在圓上移動時,求動點M的軌跡方程.

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(本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點A(-2，0)、B(2，0)，M是動點，且直線MA與直線MB的斜率之積為，設(shè)動點M的軌跡為曲線C.

(I)求曲線C的方程；

(II)過定點T(-1,0)的動直線與曲線C交于P,Q兩點，若，證明：為定值.

 

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