Question

3．比較兩數(shù)$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{6}$，$\frac{7}{8}$，$\frac{9}{10}$與$\frac{1}{\sqrt{11}}$的大小是$\frac{1}{\sqrt{11}}＜\frac{1}{2}＜\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}＜\frac{9}{10}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+1}$（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可判斷前幾個(gè)數(shù)的大小，再由$\sqrt{11}＞2$得$\frac{1}{\sqrt{11}}＜\frac{1}{2}$，則答案可求．

解答 解：令f（x）=$\frac{x}{x+1}$（x＞0），
則f′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，
∴f（x）=$\frac{x}{x+1}$（x＞1）為增函數(shù)，
∴f（9）＞f（7）＞f（5）＞f（3）＞f（1），
即$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{4}$＜$\frac{5}{6}$$＜\frac{7}{8}$＜$\frac{9}{10}$．
又$\sqrt{11}＞3＞2$，
∴$\frac{1}{\sqrt{11}}＜\frac{1}{2}$，
則$\frac{1}{\sqrt{11}}＜\frac{1}{2}＜\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}＜\frac{9}{10}$．
故答案為：$\frac{1}{\sqrt{11}}＜\frac{1}{2}＜\frac{3}{4}＜\frac{5}{6}＜\frac{7}{8}＜\frac{9}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．