Question

雙曲線(xiàn)兩漸近線(xiàn)方程是3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一準(zhǔn)線(xiàn)方程為5y+4=0，求這個(gè)雙曲線(xiàn)的方程．（12分）

Answer 1

分析：先由兩漸近線(xiàn)聯(lián)立方程求得雙曲線(xiàn)的中心，再平移坐標(biāo)軸，將原點(diǎn)移到O′（2，1），則可得到原坐標(biāo)與新坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而得到在新坐標(biāo)系下雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)性方程和準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)實(shí)半軸為a，虛半軸為b，進(jìn)而求得a和b，得到雙曲線(xiàn)方程，再把方程平移到原坐標(biāo)系中即可．

解答：解：由方程組：3x-4y-2=0，3x+4y-10=0，
解得中心O′（2，1）．平移坐標(biāo)軸，將原點(diǎn)移到O′（2，1），
則原坐標(biāo)與新坐標(biāo)之間的關(guān)系為：x=x′+2，y=y′+1．
在新坐標(biāo)系x′o′y′下，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為x′=-

4

3

y′，
一準(zhǔn)線(xiàn)方程是y′=-

9

5

．
設(shè)實(shí)半軸為a，虛半軸為b，
則

b

a

=

4

3

，

a2

a2+b2

=

9

5

，
解得a=3，b=4，
∴雙曲線(xiàn)在新坐標(biāo)系下的方程是

y2

9

-

x2

16

=1，
故原坐標(biāo)系下，所求曲線(xiàn)方程為

(y-1)2

9

-

(x-2)2

16

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．當(dāng)雙曲線(xiàn)的中心不在原點(diǎn)時(shí)，必須先把坐標(biāo)原點(diǎn)平移到雙曲線(xiàn)中心．