Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-

1

2

a²•x²+lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)定義域、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分a=0，a＞0，a＜0三種情況討論，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0即可；
（2）由題意知（1，+∞）為函數(shù)f（x）減區(qū)間的子集，由（1）問題可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，然后由包含關(guān)系可得不等式；

解答： 解：（1）∵f(x)=-

1

2

a2•x2+lnx，其定義域為（0，+∞）．
∴f′(x)=-a2•x+

1

x

，
①當(dāng)a=0時，f′(x)=

1

x

＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)a＞0時，f′(x)=-a2•x+

1

x

=

-a2x2+1

x

=

-a2(x+ 1 a )(x- 1 a )

x

，
則當(dāng)x∈(0，

1

a

)時，f′（x）＞0，此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

a

)；
③當(dāng)a＜0時，f′(x)=-a2•x+

1

x

=

-a2x2+1

x

=

-a2(x- 1 a )(x+ 1 a )

x

，
則當(dāng)x∈(0，-

1

a

)時，f′（x）＞0，此時f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，-

1

a

)．
（2）由（1）知，當(dāng)a=0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），不合題意．
當(dāng)a＞0時，f（x）在(

1

a

，+∞)上單調(diào)遞減，
∴

1

a

≤1，解得a≥1；
當(dāng)a＜0時，f（x）在(-

1

a

，+∞)上單調(diào)遞減，
∴-

1

a

≤1，解得a≤-1．
綜上：a的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞）．

點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)，則（a，b）為f（x）減區(qū)間的子集．