Question

從某節(jié)能燈生產(chǎn)線上隨機抽取100件產(chǎn)品進行壽命試驗，按連續(xù)使用時間（單位：天）共分5組，得到頻率分布直方圖如圖．
（1）請根據(jù)頻率分布直方圖，估算樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；
（2）若將頻率視為概率，從該生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品（數(shù)量很多）中隨機抽取3個，用ξ表示連續(xù)使用壽命高于350天的產(chǎn)品件數(shù)，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由頻率分布直方圖，得到眾數(shù)落在第三組[250，300），由此能求出眾數(shù)；數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率是0.2＜0.5，數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率是0.75＞0.5，所以中位數(shù)一定落在第三組[250，300）中，假設(shè)中位數(shù)是x，則0.2+（x-250）×0.011=0.5，由此能求出中位數(shù)．
（Ⅱ）由題意ξ=0，1，2，3，ξ～B（3，0.1），由此能求出ξ的分布列和期望．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖，得到眾數(shù)落在第三組[250，300），
是

250+300

2

=275．（2分）
∵數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率=50×0.001+50×0.003=0.2＜0.5，（3分）
數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率=50×0.001+50×0.003+50×0.011=0.75＞0.5，
∴中位數(shù)一定落在第三組[250，300）中，（4分）
假設(shè)中位數(shù)是x，則0.2+（x-250）×0.011=0.5，
解得中位數(shù)x≈277.27．（5分）
（Ⅱ）∵樣本中連續(xù)使用壽命高于350天的產(chǎn)品有10件，
所點頻率為0.1，若將頻率視為概率0.1，
依題意ξ=0，1，2，3，ξ～B（3，0.1），
P（ξ=0）=

C

0 3

×0．93=0.729，
P（ξ=1）=

C

1 3

×0.1×0．92=0.243，
P（ξ=2）=

C

2 3

×0．12×0.9=0.027，
P（ξ=3）=

C

3 3

0．13=0.001，（11分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	0.729	0.243	0.027	0.001

∴Eξ=np=3×0.1=0.3．（13分）

點評：本題考查眾數(shù)、中位數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．