Question

已知函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，且對任意a∈R，有f（a）+f（-a）=0且 f（-3）=2．
（1）試判定函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并說明理由；
（2）對?x，x₁，x₂∈[-3，0）∪（0，3]都有kx²-4x+k+4≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（a）+f（-a）=0且 f（-3）=2．
∴f（3）=-2
∵-3＜3，2＞-2，函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）∵x₁，x₂∈[-3，0）∪（0，3]，函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在定義域上的最大值為2，最小值為-2，
要使?x∈R，x₁，x₂∈[-3，0）∪（0，3]都有kx²-4x+k+4≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，
則?x∈R，kx²-4x+k+4≥|2-（-2）|恒成立
即?x∈R，kx²-4x+k≥0恒成立
當k=0時，-4x≥0不恒成立
當k≠0時，，即，∴k≥2
∴實數(shù)k的取值范圍為[2，+∞）
分析：（1）由于函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，利用兩個特殊點的函數(shù)值，即可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先確定函數(shù)f（x）在定義域上的最大值為2，最小值為-2，要使?x∈R，x₁，x₂∈[-3，0）∪（0，3]都有kx²-4x+k+4≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，則?x∈R，kx²-4x+k+4≥|2-（-2）|恒成立，再進行分類討論即可．
點評：本題考查的重點是函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的最值，將?x∈R，x₁，x₂∈[-3，0）∪（0，3]都有kx²-4x+k+4≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，轉(zhuǎn)化為?x∈R，kx²-4x+k≥0恒成立