Question

1．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AE⊥平面PAD
（Ⅱ）若AP=AB=2，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PA⊥AE，BC⊥AE，從而AD⊥AE，由此能證明AE⊥平面PAD．
（Ⅱ）推導(dǎo)出平面PAC⊥平面ABCD，過(guò)E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過(guò)O作OS⊥AF于S，連結(jié)ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，由此能求出二面角E-AF-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
又底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，又E是BC的中點(diǎn)，
∴BC⊥AE，又BC∥AD，∴AD⊥AE，
又AD∩PA=A，PA、AD?平面PAD，
∴AE⊥平面PAD．
解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，
過(guò)E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，
過(guò)O作OS⊥AF于S，連結(jié)ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE•sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AO=AE•cos30°=$\frac{3}{2}$，
又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，SO=AO•sin45°=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
又SE=$\sqrt{E{O}^{2}+S{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{4}$，
在Rt△ESO中，$cos∠ESO=\frac{SO}{SE}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴二面角E-AF-C的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．