Question

某車站每天上午發(fā)出兩班客車，第一班客車在8：00，8：20，8：40這三個時刻隨機發(fā)出，且在8：00發(fā)出的概率為

1

4

，8：20發(fā)出的概率為

1

2

，8：40發(fā)出的概率為

1

4

；第二班客車在9：00，9：20，9：40這三個時刻隨機發(fā)出，且在9：00發(fā)出的概率為

1

4

，9：20發(fā)出的概率為

1

2

，9：40發(fā)出的概率為

1

4

．兩班客車發(fā)出時刻是相互獨立的，一位旅客預(yù)計8：10到站．求：
（1）請預(yù)測旅客乘到第一班客車的概率；
（2）旅客候車時間的分布列；
（3）旅客候車時間的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）第一班若在8：20或8：40發(fā)出，則旅客能乘到，這兩個事件是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到其概率．
（2）由題意知候車時間X的可能取值是10，30，50，70，90，根據(jù)條件中所給的各個事件的概率，和兩班客車發(fā)出時刻是相互獨立的，得到各個變量對應(yīng)的概率，寫出分布列．
（3）根據(jù)上一問做出的分布列，代入求概率的公式，求出隨機變量的期望值，得到旅客候車時間的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）∵在8：00發(fā)出的概率為

1

4

，8：20發(fā)出的概率為

1

2

，
第一班若在8：20或8：40發(fā)出，則旅客能乘到，這兩個事件是互斥的，
根據(jù)互斥事件的概率公式得到其概率為P=

1

2

+

1

4

=

3

4

．
（2）由題意知候車時間X的可能取值是10，30，50，70，90
根據(jù)條件中所給的各個事件的概率，得到
P（X=10）=

1

2

，P（X=30）=

1

4

，P（X=50）=

1

4

×

1

4

=

1

16

，
P（X=70）=

1

4

×

1

2

=

1

8

，P（X=90）=

1

16

，
∴旅客候車時間的分布列為：

候車時間X（分）	10	30	50	70	90
概率	1 2	1 4	1 16	1 8	1 16

（3）候車時間的數(shù)學(xué)期望為
10×

1

2

+30×

1

4

+50×

1

16

+70×

1

8

+90×

1

16

=5+

15

2

+

25

8

+

35

4

+

45

8

=30．
即這旅客候車時間的數(shù)學(xué)期望是30分鐘．

點評：本題考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機變量的分布列和期望值，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，本題是一個概率與統(tǒng)計的綜合題目，是一個可以出現(xiàn)在高考卷中的題目．