(2012•黃岡模擬)某車站每天上午發(fā)出兩班客車,每班客車發(fā)車時刻和發(fā)車概率如下:
第一班車:在8:00、8:20、8:40發(fā)車的概率分別為
1
4
,
1
2
,
1
4

第二班車:在9:00、9:20、9:40發(fā)車的概率分別為
1
4
,
1
2
,
1
4
;
兩班車發(fā)車時刻是相互獨立的,一位旅客8:10到達車站乘車
求:(1)該旅客乘第一班車的概率;
(2)該旅客候車時間(單位:分鐘)的分布列;
(3)該旅客候車時間的數(shù)學期望.
分析:(1)第一班若在8:20或8:40發(fā)出,則旅客能乘到,這兩個事件是互斥的,根據(jù)互斥事件的概率公式得到其概率.
(2)由題意知候車時間X的可能取值是10,30,50,70,90,根據(jù)條件中所給的各個事件的概率,和兩班客車發(fā)出時刻是相互獨立的,得到各個變量對應的概率,寫出分布列.
(3)根據(jù)上一問做出的分布列,代入求概率的公式,求出隨機變量的期望值,得到旅客候車時間的數(shù)學期望.
解答:解:(1)第一班若在8:20或8:40發(fā)出,則旅客能乘到,這兩個事件是互斥的,
根據(jù)互斥事件的概率公式得到其概率為P=
1
2
+
1
4
=
3
4

(2)由題意知候車時間X的可能取值是10,30,50,70,90
根據(jù)條件中所給的各個事件的概率,得到
P(X=10)=
1
2
,P(X=30)=
1
4
,P(X=50)=
1
4
×
1
4
=
1
16

P(X=70)=
1
4
×
1
2
=
1
8
,P(X=90)=
1
16

∴旅客候車時間的分布列為:
候車時間X(分) 10 30 50 70 90
概率
1
2
1
4
1
16
1
8
1
16
(3)候車時間的數(shù)學期望為
10×
1
2
+30×
1
4
+50×
1
16
+70×
1
8
+90×
1
16
=30.
即這旅客候車時間的數(shù)學期望是30分鐘.
點評:本題考查互斥事件的概率公式,考查離散型隨機變量的分布列和期望值,考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
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