Question

在△ABC中，余弦定理可敘述為a²=b²+c²-2BCcosA,其中a、b、c依次為角A、B、C的對邊，類比以上定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想.

Answer 1

解：如圖所示，S₁、S₂、S₃、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積，α、β、γ依次表示平面PAB與平面PBC，平面PBC與平面PCA，平面PCA與平面PAB所成二面角的大小，猜想余弦定理類比推理到三維空間的表現(xiàn)形式應(yīng)為?

S²=S₁²+S₂²+S₃²-2S₁S₂coSα-2S₂S₃coSβ-2S₃S₁coSγ.?

上式可敘述為四面體的一個(gè)面的面積的平方，等于其他各面面積平方的和，減去每兩個(gè)面面積與這兩個(gè)面夾角余弦乘積的兩倍.?

關(guān)于三維余弦定理的證明問題我們可以類比平面中的三角形射影定理來證明三角形余弦定理的方法，給出較簡捷的證法.?

先看由三角形射影定理證明其余弦定理的方法：在△ABC中，A、b、c分別表示角A、B、C的對邊，則有?

A=bcoSC+ccoSB，                                                                                                          ①?

b=ccoSA+AcoSC，                                                                                                          ②?

c=AcoSB+bcoSA.                                                                                                            ③?

①×A-②×b-③×c可得?

A²-b²-c²=-2bccoSA,?

∴A²=b²+c²-2bccoSA.?

下面給出三維余弦定理的證明，如圖，記號(hào)表示面積為S₁和S₂的兩個(gè)面所成的二面角大小，由例1的三維射影定理可知：?

o

①×S-②×S₁-③×S₂-④×S₃可得S²-S₁²-S₂²-S₃²?

=-2S₁S₂coSα-2S₂S₃coSβ-2S₃S₁coSγ,?

移項(xiàng)得欲證三維余弦定理.