Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=PA=$\sqrt{2}$AB=2，E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥EF；
（2）求直線EF與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．通過證明$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}=0$，證明AC⊥EF．
（2）求出平面PCD的一個(gè)法向量，設(shè)直線EF與平面PCD所成角為θ，通過向量的數(shù)量積求解直線EF與平面PCD所成角的正弦值．

解答 （12分）解：（1）易知AB，AD，A P兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則：A（0，0，0），$B（\sqrt{2}，0，0）$，$C（\sqrt{2}，1，0）$，
D（0，2，0），P（0，0，2），$E（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，1）$，F(xiàn)（0，1，0）．…（3分）
從而$\overrightarrow{EF}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1，-1）$，$\overrightarrow{AC}=（\sqrt{2}，1，0）$
因?yàn)?\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}=0$，所以$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{EF}$，
即AC⊥EF…（6分）
（2）$\overrightarrow{PC}=（\sqrt{2}，1，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（0，2，-2）$
設(shè)$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面PCD的一個(gè)法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+y-2z=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$
令$z=\sqrt{2}$，則$\overrightarrow n=（1，\sqrt{2}，\sqrt{2}）$…（9分）
設(shè)直線EF與平面PCD所成角為θ，則$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EF}＞|=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{1}{5}$
即直線EF與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{1}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的條件的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．