Question

（2011•通州區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，an+1=an+

1

n(n+1)

，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（II）設(shè)bn=

n

2n

an（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）先裂項，再利用疊加法，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（II）利用錯位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（I）∵an+1=an+

1

n(n+1)

∴an+1-an=

1

n

-

1

n+1

∴a2-a1=1-

1

2

，a3-a2=

1

2

-

1

3

，…，an-an-1=

1

n-1

-

1

n

∴an-a1=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=

n-1

n

∵a₁=2，∴a_n=3-

1

n

；
（II）bn=

n

2n

an=（3n-1）•

1

2n

，
∴S_n=2•

1

2

+5•

1

22

+…+（3n-1）•

1

2n

①，
∴

1

2

S_n=2•

1

22

+5•

1

23

+…+（3n-4）•

1

2n

+（3n-1）•

1

2n+1

②，
①-②可得

1

2

S_n=2•

1

2

+3•

1

22

+…+3•

1

2n

-（3n-1）•

1

2n+1

，
∴

1

2

S_n=

5

2

-3•

1

2n

-（3n-1）•

1

2n+1

，
∴S_n=5-

3

2n-1

-

3n-1

2n

．

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查裂項法與錯位相減法的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．