Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點，EF與BD交于點G．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）M為棱BB₁上的一點，當(dāng)

B1M

MB

的值為多少時能使D₁M⊥平面EFB₁？試給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)，根據(jù)正方體的底面的兩條對角線垂直和三角形的中位線平行于底邊，得到線與線垂直，得到線面垂直，得到∠B₁GB是二面角B₁-EF-B的平面角，求出角的正切值．
（2）當(dāng)兩條線的比值等于1時滿足條件，下面證明這個結(jié)論成立，要證明一條直線垂直于一個平面，需要從平面上找兩條相交直線與已知直線垂直，在平面上找到B₁E，EF與已知直線垂直．

解答：解：（1）在底面ABCD中，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴BG⊥EF，連接B₁G．
又∵BB₁⊥ABCD，∴B₁G⊥EF．
則∠B₁GB是二面角B₁-EF-B的平面角，BG=

1

4

BD=

2

4

a，
tan∠B1GB=

B1B

BG

=2

2

．
（2）當(dāng)

B1M

MB

=1時滿足題意．
證明：D₁A₁⊥面AB₁，知D₁M在面AB₁的射影是A₁M，
∵△A₁MB≌△B₁EB，∴A₁M⊥B₁E，即D₁M⊥B₁E．
因為DD₁⊥平面ABCD，所以BD為D₁M在平面ABCD內(nèi)射影，
連接AC，因為E、F為中點，所以AC∥EF，
又因為BD⊥EF，所以D₁M⊥EF．又因為B₁E∩EF=E．
∴D₁M⊥平面EFB₁

點評：本題考查直線與平面垂直的判斷和求二面角的正切值，本題是利用幾何方法來解題的，沒有涉及空間向量，解題的關(guān)鍵是做出二面角的平面角．