Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a||x-1|恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

[-1，3]

．

Answer 1

分析：由題意可得，|x-1|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值．利用不等式的性質(zhì)求得

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值等于2，從而得到|x-1|≤2，由此求得實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答：解：由題意可得|x-1|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

 恒成立，故|x-1|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值．
∵

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2，故

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值等于2．
∴|x-1|≤2，
∴-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3，
故答案為[-1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，求出于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值等于2，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．