Question

已知p：

a

x-a

＞1，q：x²-2x+1-a²≥0（其中a為實(shí)數(shù)且a＞0），若p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題p，q的等價(jià)條件，然后利用p是￢q的充分不必要條件，確定實(shí)數(shù)a 的取值范圍即可．

解答：解：∵a＞0，
∴由

a

x-a

＞1，得

a

x-a

-1=

2a-x

x-a

＞0，
即（2a-x）（x-a）＞0，
∴（x-2a）（x-a）＜0，解得a＜x＜2a．
即p：a＜x＜2a．
∵q：x²-2x+1-a²≥0（其中a為實(shí)數(shù)且a＞0），
∴￢q：x²-2x+1-a²＜0（其中a為實(shí)數(shù)且a＞0），
即￢q：1-a＜x＜1+a，（a＞0）．
若p是￢q的充分不必要條件，
則

a≥1-a 2a≤1+a

，
即

a≥ 1 2 a≤1

，
解得

1

2

≤a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，先求出命題p，q成立的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．