【題目】
在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)棱底面,,點(diǎn)是的中點(diǎn),作交于.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)連接,與交于,連接,由中位線可得,根據(jù)線面平行的判定定理可證得平面;
(Ⅱ)由底面可證得,又因?yàn)?/span>是正方形,根據(jù)線面垂直判定定理可證得平面,從而可得,根據(jù)等腰三角形中線即為高線可得,根據(jù)線面垂直判定定理可證得平面,從而可得,又,可得平面;
(Ⅲ)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.,設(shè),可得各點(diǎn)的坐標(biāo),從而可得各向量坐標(biāo),根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0,可得面和面的法向量.根據(jù)數(shù)量積公式可得兩法向量夾角的余弦值,可得兩法向量夾角,兩法向量夾角與二面角相等或互補(bǔ),由觀察可知所求二面角為銳角.
解:(Ⅰ)連接,與交于,連接
∵是正方形,∴則為的中點(diǎn)
∵是的中點(diǎn),
∴
∵平面,平面
∴平面
(Ⅱ)∵底面,平面
∴
∵,
∴平面
∵平面,
∴
∵是的中點(diǎn),
∴
∵
∴平面
而平面,
∴
又,
∴平面
(Ⅲ)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè).
則.
設(shè)平面的法向量是,則,
所以,,即
設(shè)平面的法向量是,則
所以,,即.
∴,即面角的大小為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是兩條異面直線,直線與都垂直,則下列說(shuō)法正確的是( )
A. 若平面,則
B. 若平面,則,
C. 存在平面,使得,,
D. 存在平面,使得,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山,從山的側(cè)面進(jìn)行勘測(cè),迎面山坡線由同一平面的兩段拋物線組成,其中所在的拋物線以為頂點(diǎn)、開口向下,所在的拋物線以為頂點(diǎn)、開口向上,以過(guò)山腳(點(diǎn))的水平線為軸,過(guò)山頂(點(diǎn))的鉛垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖(單位:百米).已知所在拋物線的解析式,所在拋物線的解析式為
(1)求值,并寫出山坡線的函數(shù)解析式;
(2)在山坡上的700米高度(點(diǎn))處恰好有一小塊平地,可以用來(lái)建造索道站,索道的起點(diǎn)選擇在山腳水平線上的點(diǎn)處,(米),假設(shè)索道可近似地看成一段以為頂點(diǎn)、開口向上的拋物線當(dāng)索道在上方時(shí),索道的懸空高度有最大值,試求索道的最大懸空高度;
(3)為了便于旅游觀景,擬從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設(shè)觀景臺(tái)階,臺(tái)階每級(jí)的高度為20厘米,長(zhǎng)度因坡度的大小而定,但不得少于20厘米,每級(jí)臺(tái)階的兩端點(diǎn)在坡面上(見圖).試求出前三級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)度(精確到厘米),并判斷這種臺(tái)階能否一直鋪到山腳,簡(jiǎn)述理由?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系 中,曲線 的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線 的極坐標(biāo)方程為 .
(1)求直線和曲線的普通方程;
(2)已知點(diǎn),且直線和曲線交于兩點(diǎn),求 的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,平面,,,,為的中點(diǎn),與相交于點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若直線為曲線的切線,求證:直線與曲線不可能有2個(gè)切點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的四種類比推理:
①?gòu)?fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則;
②由向量的性質(zhì),類比得到復(fù)數(shù)的性質(zhì);
③方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根的條件是可以類比得到:方程有兩個(gè)不同復(fù)數(shù)根的條件是;
④由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義,其中類比錯(cuò)誤的是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲乙兩人各自獨(dú)立地進(jìn)行射擊比賽,甲、乙兩人向射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是和,假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.
(1)求甲射擊3次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率;
(2)求兩人各射擊3次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為,過(guò)F1的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),且△MNF2的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=kx+b與橢圓C分別交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,試問(wèn)點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值,證明你的結(jié)論.
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