Question

已知直線x-y+1=0經(jīng)過橢圓S：的一個焦點和一個頂點．
（1）求橢圓S的方程；
（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k．
①若直線PA平分線段MN，求k的值；
②對任意k＞0，求證：PA⊥PB．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直線x-y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=-1，故c=b=1，a²=2，由此能求出橢圓方程．
（2）①，N（0，-1），M、N的中點坐標為（，），所以
②法一：將直線PA方程y=kx代入，解得，記，則P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），故直線AB方程為，代入橢圓方程得（k²+2）x²-2k²mx+k²m²-8=0，由此能夠證明PA⊥PB．
法二：設P（x，y），A（-x，-y），B（x₁，y₁），則C（x，0），由A、C、B三點共線，知=，由此能夠證明PA⊥PB．
解答：解：（1）在直線x-y+1=0中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，
由題意得c=b=1，
∴a²=2，
則橢圓方程為．
（2）①，N（0，-1），
M、N的中點坐標為（，），
所以．
②解法一：將直線PA方程y=kx代入，
解得，
記，
則P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），
故直線AB方程為，
代入橢圓方程得（k²+2）x²-2k²mx+k²m²-8=0，
由，
因此，
∴，，
∴，
∴，故PA⊥PB．
解法二：由題意設P（x，y），A（-x，-y），B（x₁，y₁），則C（x，0），
∵A、C、B三點共線，
∴=，
又因為點P、B在橢圓上，
∴，，
兩式相減得：，
∴=-=-1，
∴PA⊥PB．
點評：本題考查直線和橢圓的性質(zhì)和應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．