(2008•黃岡模擬)已知直線x+y-1=0與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)相交于A、B兩點,M是線段AB上的一點,
AM
=-
BM
,且點M在直線l:y=
1
2
x
上,
(1)求橢圓的離心率;
(2)若橢圓的焦點關于直線l的對稱點在單位圓x2+y2=1上,求橢圓的方程.
分析:(1)設A(x1,y1)、B(x2,y2),由題中的直線方程與橢圓聯(lián)解消去y,得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,由根與系數(shù)的關系得x1+x2=
2a2
a2+b2
,進而得到y(tǒng)1+y2=
2b2
a2+b2
,因此算出AB中點M(
a2
a2+b2
b2
a2+b2
),根據(jù)點M在直線y=
1
2
x
上建立關系式得到a2=2b2,由此即可算出該橢圓的離心率的值;
(2)由(1)的結(jié)論,設橢圓的一個焦點F(b,0)關于直線l:y=
1
2
x
的對稱點為Q(x0,y0),根據(jù)PQ被直線l垂直且平分建立方程組,解之得到x0=
3b
5
且y0=
4b
5
,結(jié)合點Q在單位圓上,得到關于b的方程并解之得b=1,由此即可得到所求橢圓方程.
解答:解:設A、B兩點的坐標分別為A(x1,y1)、B(x2,y2),
( 1)由
AM
=-
BM
,可得M是AB的中點,…(1分)
x+y-1=0
x2
a2
+
y2
b2
=1
消去y,得:(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0…(4分)
∴x1+x2=
2a2
a2+b2
,可得y1+y2=2-(x1+x2)=2-
2a2
a2+b2
=
2b2
a2+b2
…(5分)
因此,點M的坐標為(
a2
a2+b2
b2
a2+b2

又∵點M在直線l:y=
1
2
x
上,∴
b2
a2+b2
=
1
2
×
a2
a2+b2
…(6分)
化簡得a2=2b2=2(a2-c2),可得a=
2
c
,所以橢圓的離心率e=
c
a
=
2
2
…(7分)
(2)由(1)得b=c,不妨設橢圓的一個焦點坐標為F(b,0)
設F(b,0)關于直線 l:y=
1
2
x
的對稱點為Q(x0,y0),…(8分)
y0-0
x0-b
×
1
2
=-1
x0+b
2
-2×
y0 
2
=0
,解之得:
x0=
3b
5
y0=
4b
5
…(11分)
結(jié)合已知x02+y02=1,可得(
3b
5
)2+(
4b
5
)2=1
,解之得b=1(舍負)…(13分)
因此,所求的橢圓的方程為
x2
2
+y2=1
…(14分)
點評:本題給出直線與橢圓相交,在已知截得弦的中點在定直線上時,求橢圓的方程,并依此求橢圓焦點關于定直線的對稱點在單位圓上的問題.著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、點關于直線的對稱點的求法和直線與圓錐曲線位置關系等知識點,屬于中檔題.
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