【題目】如圖,已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為
,F為橢圓C的右焦點.A(-a,0),|AF|=3.
(I)求橢圓C的方程;
(II)設O為原點,P為橢圓上一點,AP的中點為M.直線OM與直線x=4交于點D,過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E.求證:∠ODF=∠OEF.
【答案】.(I);(II)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)根據橢圓的離心率為,
,結合性質
,列出關于
、
、
的方程組,求出
、
、
,即可得橢圓C的方程;(2)設直線
的方程為:
,將其代入橢圓方程,整理得
,根據韋達定理可得
(
,
),直線
的方程是
,令
,得
,同理可得
,根據斜率公式可得在
和
中,
和
都與
互余,所以
.
試題解析:(I)設橢圓C的半焦距為c.依題意,得
,a+c=3. 解得a=2,c=1.
所以b2=a2-c2=3,所以橢圓C的方程是
(II)由(I)得A(-2,0).設AP的中點M(x0,y0),P(x1,y1).
設直線AP的方程為:y=k(x+2)(k≠0),將其代入橢圓方程,整理得
(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,
所以-2+x1=.
所以x0=,y0=k(x0+2)=
,
即M(,
).
所以直線OM的斜率是,
所以直線OM的方程是y=-x.令x=4,得D(4,-
).
直線OE的方程是y=kx.令x=4,得E(4,4k).
由F(1,0),得直線EF的斜率是=
,所以EF⊥OM,記垂足為H;
因為直線DF的斜率是=
,所以DF⊥OE,記垂足為G.
在Rt△EHO和Rt△DGO中,∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余,
所以∠ODF=∠OEF.
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【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點.將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B重合于點P,則三棱錐PDCE的外接球的體積為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】目前我國城市的空氣污染越來越嚴重,空氣質量指數一直居高不下,對人體的呼吸系統(tǒng)造成了嚴重的影響,現調查了某城市500名居民的工作場所和呼吸系統(tǒng)健康,得到
列聯表如下:
室外工作 | 室內工作 | 合計 | |
有呼吸系統(tǒng)疾病 | 150 | ||
無呼吸系統(tǒng)疾病 | 100 | ||
合計 | 200 |
(Ⅰ)請把列聯表補充完整;
(Ⅱ)你是否有95%的把握認為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工作場所有關;
(Ⅲ)現采用分層抽樣從室內工作的居民中抽取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中隨機抽取2人,求2人都有呼吸系統(tǒng)疾病的概率.
參考公式與臨界表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】某城市在進行創(chuàng)建文明城市的活動中,為了解居民對“創(chuàng)文”的滿意程度,組織居民給活動打分(分數為整數.滿分為100分).從中隨機抽取一個容量為120的樣本.發(fā)現所有數據均在內.現將這些分數分成以下6組并畫出了樣本的頻率分布直方圖,但不小心污損了部分圖形,如圖所示.觀察圖形,回答下列問題:
(1)算出第三組的頻數.并補全頻率分布直方圖;
(2)請根據頻率分布直方圖,估計樣本的眾數、中位數和平均數.(每組數據以區(qū)間的中點值為代表)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率都為50%,現采用隨機模擬的方法估計該運動員四次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器算出0到9之間取整數值的隨機數,指定0,1,2,3,4表示命中,5,6,7,8 9表示不命中;再以每四個隨機數為一組,代表四次投籃的結果.經隨機模擬產生了20組隨機數:9075 9660 1918 9257 2716 9325 8121 4589 5690 6832 4315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989
據此估計,該運動員四次投籃恰有兩次命中的概率為____.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為
,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程和長軸長;
(Ⅱ)設為橢圓
的左焦點,
為直線
上任意一點,過點
作直線
的垂線交橢圓
于
,記
分別為點
和
到直線
的距離,證明
.
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