Question

【題目】如圖，已知橢圓C： （a>b>0）的離心率為，F為橢圓C的右焦點.A（-a，0），|AF|=3.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設O為原點，P為橢圓上一點，AP的中點為M.直線OM與直線x=4交于點D，過O且平行于AP的直線與直線x=4交于點E.求證：∠ODF=∠OEF.

Answer 1

【答案】.（I）；（II）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的離心率為， ，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓C的方程；（2）設直線的方程為： ，將其代入橢圓方程，整理得，根據韋達定理可得（， ），直線的方程是，令，得，同理可得，根據斜率公式可得在和中， 和都與互余，所以.

試題解析：（I）設橢圓C的半焦距為c.依題意，得

，a+c=3. 解得a=2，c=1.

所以b2=a2-c2=3，所以橢圓C的方程是

（II）由（I）得A（-2，0）.設AP的中點M（x0，y0），P（x1，y1）.

設直線AP的方程為：y=k（x+2）（k≠0），將其代入橢圓方程，整理得

（4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0，

所以-2+x1=.

所以x0=，y0=k（x0+2）=，

即M（， ）.

所以直線OM的斜率是，

所以直線OM的方程是y=-x.令x=4，得D（4，-）.

直線OE的方程是y=kx.令x=4，得E（4，4k）.

由F（1，0），得直線EF的斜率是=，所以EF⊥OM，記垂足為H；

因為直線DF的斜率是=，所以DF⊥OE，記垂足為G.

在Rt△EHO和Rt△DGO中，∠ODF和∠OEF都與∠EOD互余，

所以∠ODF=∠OEF.