Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx（a∈R），
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）求出f（1）及f′（1）的值，代入點(diǎn)斜式方程即可得到答案；
（2）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的極值．

解答：解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）…（1分）
（1）當(dāng)a=2時(shí)　　　f（x）=2x²-lnxf′(x)=4x-

1

x

…（3分）
∴f（1）=2，f'（1）=3
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線方程為y-2=3（x-1）
即3x-y-1=0…（6分）
（2）f′(x)=

2ax2-1

x

，x＞0…（7分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，
則函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，∴f（x）無極值…（9分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0解得x=

1 2a

又當(dāng)x∈(0，

1 2a

)時(shí)，f'（x）＜0
當(dāng)x∈(

1 2a

，+∞)時(shí)，f'（x）＞0…（11分）
∴f（x）在x=

1 2a

處取得極小值，且極小值為f(

1 2a

)=

1

2

+

1

2

ln2a…（12分）
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=

1 2a

處取得極小值

1

2

+

1

2

ln2a，無極大值…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．