Question

13．函數(shù)$y=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}$的值域?yàn)椋ā　。?table class="qanwser">A．$[{1，\sqrt{2}}]$B．[2，4]C．$[{\sqrt{2}，2}]$D．$[{1，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 設(shè)2x=sinθ，利用三角函數(shù)化簡(jiǎn)y=$\sqrt{2}$（|sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|+|cos（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|），從而求值域．

解答 解：設(shè)2x=sinθ，
則$y=\sqrt{1+2x}+\sqrt{1-2x}$=$\sqrt{1+sinθ}$+$\sqrt{1-sinθ}$
=|sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$|+|sin$\frac{θ}{2}$-cos$\frac{θ}{2}$|
=$\sqrt{2}$|sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|+$\sqrt{2}$|sin（$\frac{θ}{2}$-$\frac{π}{4}$）|
=$\sqrt{2}$（|sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|+|cos（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|）
∵1≤|sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|+|cos（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|≤$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$（|sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|+|cos（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{4}$）|）≤2，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與值域的求法，關(guān)鍵在于換元．