Question

4．平面內(nèi)有n（n∈N^*）個圓中，每兩個圓都相交，每三個圓都不交于一點，若該n個圓把平面分成f（n）個區(qū)域，那么f（n）=n²-n+2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得，f（n）-f（n-1）=2×（n-1），進而可得f（3）-f（2）=2×2，f（4）-f（3）=2×3，…f（n）-f（n-1）=2×（n-1），將這些式子相加可得：f（n）-f（2）=2×2+2×3+2×4+…+2×n=n（n+1），進而可得f（n），即可得答案．

解答 解：分析可得，n-1個圓可以將平面分為f（n-1）個區(qū)域，n個圓可以將平面分為f（n）個區(qū)域，
增加的這個圓即第n個圓與每個圓都相交，可以多分出2（n-1）個區(qū)域，
即f（n）-f（n-1）=2×（n-1），
則有f（3）-f（2）=2×2，
f（4）-f（3）=2×3，
f（5）-f（4）=2×4，
f（6）-f（5）=2×5，
…
f（n）-f（n-1）=2×（n-1），
將這些式子相加可得：f（n）-f（2）=2×2+2×3+2×4+…+2×n=n（n+1），
f（n）=2+（n-1）n=n²-n+2
故答案為：n²-n+2．

點評 本題主要考查歸納推理的運用，關(guān)鍵要根據(jù)題意，分析出每增加一個圓，可以多分出幾個區(qū)域．