Question

1．若函數(shù)f（x）=（x²-cx+5）e^x在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，4]上單調(diào)遞增，則實數(shù)c的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，4]
• C． （-∞，8]
• D． [-2，4]

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=（x²-cx+5）e^x在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，4]上單調(diào)遞增，則f′（x）=[x²+（2-c）x+（5-c）]e^x≥0在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，即c≤$\frac{{x}^{2}+2x+5}{x+1}$在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+5}{x+1}$，利用導數(shù)法求出函數(shù)的最小值，可得答案．

解答 解：若函數(shù)f（x）=（x²-cx+5）e^x在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，4]上單調(diào)遞增，
則f′（x）=[x²+（2-c）x+（5-c）]e^x≥0在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，
即x²+（2-c）x+（5-c）≥0在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，
即c≤$\frac{{x}^{2}+2x+5}{x+1}$在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+5}{x+1}$，則g′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{（x+1）^{2}}$，
令g′（x）=0，則x=1，或-3，
當x∈[$\frac{1}{2}$，1）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
當x∈（1，4]時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
故當x=1時，g（x）取最小值4，
故c∈（-∞，4]，
故選：B

點評 本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，恒成立問題，難度中檔．