Question

10．直線l：y=x+m與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1交于A、B兩點，弦長AB為$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 把y=x+m，代入x²+4y²=4，結合題設條件利用橢圓的弦長公式能求出m，得到直線方程．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，即：x²+4y²=4
l：y=x+m，代入x²+4y²=4，
整理得5x²+8mx+4m²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$，
|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}$•|x₁-x₂|
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$$\sqrt{{（-\frac{8m}{5}）}^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-4}{5}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．
可得$\sqrt{5-{m}^{2}}=\sqrt{3}$
解得：m=$±\sqrt{2}$．
直線l：y=x$±\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓弦長的求法，解題時要注意弦長公式，考查計算能力以及分析問題解決問題的能力．