Question

已知平面直角坐標(biāo)系xOy，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosφ y=2+2sinφ

，（φ為參數(shù)）．點(diǎn)A，B是曲線C上兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，

π

3

），（ρ₂，

5π

6

）．
（1）寫(xiě)出曲線C的普通方程和極坐標(biāo)方程；
（2）求|AB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）應(yīng)用同角公式中的平方關(guān)系，即可化為普通方程，應(yīng)用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可化為極坐標(biāo)方程；
（2）方法一、在極坐標(biāo)系中，考慮OA，OB之間的關(guān)系，由圖可得|AB|；
方法二、將其化為直角坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式，即可求得．

解答： 解：（1）曲線C：參數(shù)方程

x=2cosφ y=2+2sinφ

，（φ為參數(shù)）
化為普通方程x²+（y-2）²=4，
普通方程x²+（y-2）²=4，即x²+y²-4y=0，化為極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（2）方法1：A(ρ1，

π

3

)，B(ρ2，

5π

6

)可知∠AOB=

π

2

，
則由直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到AB為直徑，故|AB|=4；
方法2：A（ρ₁，

π

3

），B（ρ₂，

5π

6

）化為直角坐標(biāo)為：
A（4cos30°•cos60°，4cos30°•sin60°），B（4cos60°•cos150°，4cos60°•sin150°）
即A(

3

，3)，B(-

3

，1)⇒兩點(diǎn)間距離|AB|=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程，以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的換算，和兩點(diǎn)間的距離，是一道基礎(chǔ)題．