Question

7．下列關(guān)于（$\sqrt{26}$+5）ⁿ（n為正奇數(shù)）的描述，正確的是（　�。�

• A． （$\sqrt{26}$+5）ⁿ可能為整數(shù)
• B． （$\sqrt{26}$+5）ⁿ不能寫成a+b$\sqrt{26}$的形式，其中a，b為整數(shù)
• C． （$\sqrt{26}$+5）ⁿ和（$\sqrt{26}$-5）ⁿ的小數(shù)部分不一樣
• D． （$\sqrt{26}$+5）ⁿ的小數(shù)表示中小數(shù)點(diǎn)后面至少接連有n個(gè)零

Answer 1

分析 把（$\sqrt{26}$+5）ⁿ 按照二項(xiàng)式定理展開，分析每一項(xiàng)的特點(diǎn)，從而得出結(jié)論．

解答 解：由于（$\sqrt{26}$+5）ⁿ =${C}_{n}^{0}$•${（\sqrt{26}）}^{n}$+${C}_{n}^{1}$•${（\sqrt{26}）}^{n-1}$•5+${C}_{n}^{2}$•${（\sqrt{26}）}^{n-2}$•5²+…+${C}_{n}^{n-1}$•$\sqrt{26}$•5^n-1+${C}_{n}^{n}$•5ⁿ，n為正奇數(shù)，
顯然奇數(shù)項(xiàng)為k$\sqrt{26}$的形式，k為正整數(shù)，且偶數(shù)項(xiàng)為正整數(shù)，
故（$\sqrt{26}$+5）ⁿ 一定能寫成a+b$\sqrt{26}$的形式，其中a，b為正整數(shù)，故A、B、D不正確．
再根據(jù)（$\sqrt{26}$-5）ⁿ =${C}_{n}^{0}$•${（\sqrt{26}）}^{n}$-${C}_{n}^{1}$•${（\sqrt{26}）}^{n-1}$•5+${C}_{n}^{2}$•${（\sqrt{26}）}^{n-2}$•5²+…+${C}_{n}^{n-1}$•$\sqrt{26}$•5^n-1-${C}_{n}^{n}$•5ⁿ，
故（$\sqrt{26}$-5）ⁿ 一定能寫成a-b$\sqrt{26}$的形式，其中a，b為正整數(shù)，故（$\sqrt{26}$+5）ⁿ和（$\sqrt{26}$-5）ⁿ的小數(shù)部分不一樣，故C正確，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．