Question

18．在四面體ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，則四面體ABCD的外接球的半徑為$\sqrt{3}$，內(nèi)切球的半徑為$\frac{126\sqrt{2}-12\sqrt{114}}{71}$．

Answer 1

分析 設(shè)四面體ABCD的外接球球心為O，則O在過△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂線上，且點(diǎn)N為△ABD的中心．設(shè)P，M分別為AB，CD的中點(diǎn)，則N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD，從而可求DM，MN，進(jìn)而可求四面體ABCD的外接圓的直徑，即可求得四面體ABCD的外接球的半徑；利用等體積，即可求出四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑．

解答 解：設(shè)四面體ABCD的外接球球心為O，則O在過△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂線上．
由題設(shè)知，△ABD是正三角形，則點(diǎn)N為△ABD的中心．
設(shè)P，M分別為AB，CD的中點(diǎn)，則N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．
因?yàn)椤螩DA=∠CDB=∠ADB=60°，設(shè)CD與平面ABD所成角為θ，
∴cosθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．
在△DMN中，DM=$\frac{1}{2}$CD=1，DN=$\frac{2}{3}$•DP=$\sqrt{3}$．
由余弦定理得MN²=1²+（$\sqrt{3}$）²-2•1•$\sqrt{3}$•$\frac{1}{\sqrt{3}}$=2，
故MN=$\sqrt{2}$．
∴四面體ABCD的外接圓的半徑OD=$\frac{MN}{sinθ}$=$\sqrt{3}$．
故四面體ABCD的外接球的半徑R=$\sqrt{3}$．
AC=BC=$\sqrt{9+4-2×3×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，∴CP=$\sqrt{7-\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
△CDP中，cos∠CDP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，DP=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，CD=2，∴S_△CDP=$\frac{1}{2}×2×\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{6}$，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則由等體積可得$\frac{1}{3}$×（$\frac{\sqrt{3}}{4}$×9+2×$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}×3$×$\frac{\sqrt{19}}{2}$）r=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×3，
∴r=$\frac{126\sqrt{2}-12\sqrt{114}}{71}$．
故答案為：$\sqrt{3}$，$\frac{126\sqrt{2}-12\sqrt{114}}{71}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體ABCD的外接球、內(nèi)切球的半徑，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定四面體ABCD的外接球球心位置是關(guān)鍵．