Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，M、N分別是AB、CC₁的中點，三角形MB₁P的頂點P在棱C₁B₁上運動，給出下列結(jié)論：
①異面直線B₁M與DC所成的角為π-arctan2；
②平面MB₁P⊥平面ND₁A；
③點A₁到平面MB₁P的距離等于

4 5

5

④三角形MB₁P在平面ABCD內(nèi)的射影面積為定值．
其中正確的有

 

．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析：異面直線B₁M與DC所成的角為∠B₁MB，由tan∠B₁MB=

B1B

MB

=2，知異面直線B₁M與DC所成的角為arctan2；平面MB₁P⊥平面ND₁A不成立；連接A₁M，作A₁E⊥B₁M，交BM于E，由A₁E⊥B₁M，A₁E⊥B₁P，B₁M∩B₁P=B₁，故點A₁到平面MB₁P的距離等于線段A₁E．由S△MB1P=

1

2

×2×2=

1

2

×

5

×A1E，解得A1E=

4

5

=

4 5

5

；三角形MB₁P在平面ABCD內(nèi)的射影面積不為定值．

解答：解：異面直線B₁M與DC所成的角為∠B₁MB，
∵tan∠B₁MB=

B1B

MB

=2，
∴異面直線B₁M與DC所成的角為arctan2，故①不正確；
平面MB₁P⊥平面ND₁A不成立，故②不正確；
連接A₁M，作A₁E⊥B₁M，交BM于E，
∵A₁E⊥B₁M，A₁E⊥B₁P，B₁M∩B₁P=B₁，
∴A₁E⊥平面MB₁P，∴點A₁到平面MB₁P的距離等于線段A₁E．
∵AB=2，M是AB中點，
∴A1M=B1M=

5

，
S△MB1P=

1

2

×2×2=

1

2

×

5

×A1E，
解得A1E=

4

5

=

4 5

5

，故③正確；
三角形MB₁P在平面ABCD內(nèi)的射影面積不為定值，故④不正確．
故答案為：③．

點評：本題考查命題的真假判斷，具體涉及到異面直線所成的角、平面與平面垂直、點到直線的距離、射影面積等基本知識點，解題時要認(rèn)真審題，注意空間想象力的培養(yǎng)．