Question

如圖，多面體ABCDEFG中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，F(xiàn)A∥BG∥DE，BG=

1

4

AF，DE=

3

4

AF，四邊形ABCD是正方形，AF=AB．
（1）求證：GC∥平面ADEF；
（2）求二面角C-GE-D余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件得平面BGC∥平面ADEF，由此能證明GC∥平面ADEF．
（2）以A為原點(diǎn)，以射線AB、AD、AF分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C-GE-D余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
（1）證明：∵FA∥BG，BC∥AD，BG∩BC=B，AF∩AD=A，
∴平面BGC∥平面ADEF
又GC?平面BGC，
∴GC∥平面ADEF．…（5分）
（2）解：以A為原點(diǎn)，以射線AB、AD、AF分別為x軸、y軸、
z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
不妨令A(yù)B=AF=4，則BG=1，DE=3，
∴G（4，0，1），C（4，4，0），E（0，4，3），

CG

=(0，-4，1)，

CE

=(-4，0，3)，
令

n

=(x，y，z)，

n

⊥平面CGE，
則

n • CG =0 n • CE =0

⇒

(x，y，z)•(0，-4，1)=0 (x，y，z)•(-4，0，3)=0

⇒

-4y+z=0 -4x+3z=0

⇒

z=4y x=3y

不妨令y=1，則

n

=(3，1，4)，
又AC⊥平面BDEG，則平面BDEG的一個(gè)法向量為

AC

=(4，4，0)
設(shè)二面角C-GE-D的大小為θ，由圖得θ為銳角，
∴cosθ=

| n • AC |

| n |•| AC |

=

2

13

=

2 13

13

．
∴二面角C-GE-D余弦值為

2 13

13

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．