Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx+m（x-1）²，（m∈R）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而判斷其極值的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）通過討論m的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出m的具體范圍即可．

解答 解：（I）由已知得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
${f^/}（x）=\frac{1}{x}+2m（{x-1}）=\frac{{2m{x^2}-2mx+1}}{x}（{x＞0}）$，
令g（x）=2mx²-2mx+1，（x＞0），
當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=1，此時(shí)f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；
當(dāng)m＞0時(shí)，△=4m²-8m=4m（m-2），
 ①當(dāng)0＜m≤2時(shí)，△≤0，g（x）≥0，
此時(shí)f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；
 ②當(dāng)m＞2時(shí)，△＞0，
令方程2mx²-2mx+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
且${x_1}+{x_2}=1，{x_1}•{x_2}=\frac{1}{2m}＞0$，
可得$0＜{x_1}＜\frac{1}{2}，\frac{1}{2}＜{x_2}＜1$，因此
當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，
當(dāng)m＜0時(shí)，△＞0，
x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{1}{2m}$＜0，可得x₁＜0，x₂＞1，
因此，當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)極值點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)0≤m≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上無極值點(diǎn)；
當(dāng)m＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅱ）當(dāng)m≥0時(shí)，
當(dāng)x≥1時(shí)，lnx≥0，m（x-1）²≥0，即f（x）≥0，符合題意；
當(dāng)m＜0時(shí)，由（I）知，x₂＞1，函數(shù)f（x）在（1，x₂）上單調(diào)遞增，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞減；
令h（x）=x-1-lnx，得${h^/}（x）=\frac{x-1}{x}≥0（{x≥1}）$，
所以函數(shù)h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，又h（1）=0，
得h（x）≥0，即lnx≤x-1，所以f（x）≤x-1+m（x-1）²，
當(dāng)$x＞\frac{m-1}{m}$時(shí)，x-1+m（x-1）²＜0，即f（x）＜0，不符合題意；
綜上所述，m的取值范圍為[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．