Question

若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題設(shè)知a+c=2b，兩邊平方后利用橢圓的性質(zhì)能推導(dǎo)出5e²+2e-3=0，由此能求出橢圓的離心率．
（2）由橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是非曲直0，結(jié)合橢圓的離心率，能求出橢圓方程．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距分別為2a，2b，2c，
∵橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，
∴4b=2a+2c，即a+c=2b，
∴a²+2ac+c²=4b²=4a²-4c²，
整理，得5c²+2ac-3a²=0，
∴5e²+2e-3=0，
解得e=

3

5

，或e=-1（舍）．
∴橢圓的離心率e=

3

5

．
（2）∵該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10，e=

3

5

，
∴a=5，c=3，b=

52-32

=4，
∴橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1，或

x2

16

+

y2

25

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，是中檔題，易錯(cuò)點(diǎn)是容易丟掉焦點(diǎn)在y軸上的橢圓方程．