Question

20．在直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=4t+a\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ-4sinθ．
（1）求圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）若圓上有且僅有三個點到直線l距離為$\sqrt{2}$，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由圓的極坐標方程變形可得ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，由極坐標方程的意義可得x²+y²=4x-4y，將其變形可得答案；
（2）由（1）可得圓心的坐標和半徑，分析可得圓心C到直線l的距離，由點到直線的距離可得$d=\frac{{|{4+2+a}|}}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{2}$，解可得a的值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ-4sinθ，
變形可得：ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
即x²+y²=4x-4y，
變形可得：（x-2）²+（y+2）²=8；
（2）圓心$C（{2，-2}），r=2\sqrt{2}$，
若圓上有且僅有三個點到直線l距離為$\sqrt{2}$，
則有圓心C到直線l的距離為$r-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
而直線l為：2x-y+a=0，則$d=\frac{{|{4+2+a}|}}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{2}$，
∴$|{a+6}|=\sqrt{10}$，
∴$a=±\sqrt{10}-6$．

點評 本題考查極坐標、參數(shù)方程的應用，關鍵是掌握極坐標．參數(shù)方程的意義．