Question

5．在直角坐標系xOy中，直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ²（1+2sin²θ）=3．
（Ⅰ）寫出C₁的普通方程和C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）直線C₁與曲線C₂相交于A，B兩點，點M（1，0），求||MA|-|MB||．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線C₁的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出曲線C₁的普通方程；曲線C₂的極坐標方程中，由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）將直線C₁的參數(shù)方程代入C₂的直角坐標方程，整理得：5t²+2t-4=0，由t的幾何意義能求出||MA|-|MB||．

解答 解：（Ⅰ）∵直線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)，得：曲線C₁的普通方程為$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
∵曲線C₂的極坐標方程為ρ²（1+2sin²θ）=3，
ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，
∴曲線C₂的直角坐標方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）將直線C₁的參數(shù)方程代入C₂的直角坐標方程，
整理得：5t²+2t-4=0，${t_1}+{t_2}=-\frac{2}{5}$，
由t的幾何意義可知：$||MA|-|MB||=|{t_1}+{t_2}|=\frac{2}{5}$．

點評 本題考查直線、橢圓的直角坐標方程的求法，考查兩條線段差的絕對值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．