Question

已知不在x軸上的動點P與點F（2，0）的距離是它到直線l：x=

1

2

的距離的2倍．
（Ⅰ）求點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點F的直線交E于B，C兩點，試判斷以線段BC為直徑的圓是否過定點？并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出P點坐標(biāo)，然后直接由題意列式整理得答案；
（Ⅱ）設(shè)出過點F的直線的方程為x=ky+2，和x2-

y2

3

=1聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，取A（-1，0），由

AB

•

AC

=0說明以線段BC為直徑的圓過定點A（-1，0）．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由題意得：

(x-2)2+y2

=2|x-

1

2

|，
化簡得：x2-

y2

3

=1(y≠0)；
（Ⅱ）由題意可設(shè)過點F的直線的方程為x=ky+2，
代入x2-

y2

3

=1得，
（3k²-1）y²+12ky+9=0．
由題意得3k²-1≠0且△＞0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則

y1+y2=- 12k 3k2-1 y1y2= 9 3k2-1

，
設(shè)A（-1，0），
∵

AB

•

AC

=(x1+1，y1)(x2+1，y2)
=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=（ky₁+3）（ky₂+3）+y₁y₂
=（k²+1）y₁y₂+3k（y₁+y₂）+9
=

9(k2+1)

3k2-1

-

36k2

3k2-1

+9=0．
∴AB⊥AC．
故以線段BC為直徑的圓過定點A（-1，0）．

點評：本題是直線與圓錐曲線關(guān)系的綜合題，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運算推理的能力，是壓軸題．