【題目】已知線段AB的端點B的坐標(biāo)為(3,0),端點A在圓上運動;
(1)求線段AB中點M的軌跡方程;
(2)過點C(1,1)的直線m與M的軌跡交于G、H兩點,求以弦GH為直徑的圓的面積最小值及此時直線m的方程.
(3)若點C(1,1),且P在M軌跡上運動,求的取值范圍.(O為坐標(biāo)原點)
【答案】(1);(2)圓的面積最小值(3)
【解析】
(1)設(shè)出A,M坐標(biāo),利用M為線段AB中點,確定A,M坐標(biāo)之間的關(guān)系,根據(jù)點A在圓上運動,可得線段AB中點M的軌跡方程;(2)當(dāng)時,弦長最短,從而得到直線m的方程;(3)設(shè)點,則,令,由直線與圓的位置關(guān)系得到的取值范圍.
(1)解:設(shè)點
由中點坐標(biāo)公式有
又點在圓上,將點坐標(biāo)代入圓方程得:
點的軌跡方程為:
(2)由題意知,原心到直線的距離∴當(dāng)即
當(dāng)時,弦長最短,
此時圓的面積最小,圓的半徑,面積
又,所以直線斜率,又過點
故直線的方程為:
(3)設(shè)點,由于點
法一:所以,令
有,由于點在圓上運動,故滿足圓的方程.
當(dāng)直線與圓相切時,取得最大或最小
故有
所以
法二:
∴從而
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【題目】已知橢圓,,為橢圓的兩個焦點,為橢圓上任意一點,且,構(gòu)成等差數(shù)列,過橢圓焦點垂直于長軸的弦長為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)若存在以原點為圓心的圓,使該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點,且,求出該圓的方程.
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【題目】已知函數(shù)滿足如下條件:
①函數(shù)的最小值為,最大值為9;
②且;
③若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則的最大值為2.
試探究并解決如下問題:
(Ⅰ)求,并求的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的圖象的對稱軸方程;
(Ⅲ)設(shè)是函數(shù)的零點,求的值的集合.
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【題目】已知函數(shù) (其中為自然對數(shù)的底數(shù)),若函數(shù)有4個零點,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓交軸于點,交軸于點.以為頂點,分別為左、右焦點的橢圓,恰好經(jīng)過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)經(jīng)過點的直線與橢圓交于兩點,求面積的最大值.
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【題目】已知拋物線上一點的縱坐標(biāo)為4,且點到焦點的距離為5.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)斜率為的兩條平行直線分別經(jīng)過點和,如圖. 與拋物線交于兩點, 與拋 物線交兩點.問:是否存在實數(shù),使得四邊形的面積為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為
A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ
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【題目】每年的金秋十月,越野e族阿拉善英雄會在內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟阿左旗騰格里沙漠舉行,該項目已打造成集沙漠競技運動、汽車文化極致體驗、主題休閑度假為一體的超級汽車文化賽事娛樂綜合體.為了減少對環(huán)境的污染,某環(huán)保部門租用了特制環(huán)保車清潔現(xiàn)場垃圾.通過查閱近5年英雄會參會人數(shù)(萬人)與沙漠中所需環(huán)保車輛數(shù)量(輛),得到如下統(tǒng)計表:
參會人數(shù)(萬人) | 11 | 9 | 8 | 10 | 12 |
所需環(huán)保車輛(輛) | 28 | 23 | 20 | 25 | 29 |
(1)根據(jù)統(tǒng)計表所給5組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程.
(2)已知租用的環(huán)保車平均每輛的費用(元)與數(shù)量(輛)的關(guān)系為
.主辦方根據(jù)實際參會人數(shù)為所需要投入使用的環(huán)保車,
每輛支付費用6000元,超出實際需要的車輛,主辦方不支付任何費用.預(yù)計本次英雄會大約有14萬人參加,根據(jù)(Ⅰ)中求出的線性回歸方程,預(yù)測環(huán)保部門在確保清潔任務(wù)完成的前提下,應(yīng)租用多少輛環(huán)保車?獲得的利潤是多少?(注:利潤主辦方支付費用租用車輛的費用).
參考公式:
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【題目】已知向量=(2sinx,-1),,函數(shù)f(x)=.
(1)求函數(shù)f(x)的對稱中心;
(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊為a,b,c,且a2=bc,求f(A)的取值范圍.
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