Question

【題目】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0），端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動；

（1）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)C（1,1）的直線m與M的軌跡交于G、H兩點(diǎn)，求以弦GH為直徑的圓的面積最小值及此時直線m的方程.

（3）若點(diǎn)C（1,1），且P在M軌跡上運(yùn)動，求的取值范圍.（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）圓的面積最小值（3）

【解析】

（1）設(shè)出A，M坐標(biāo)，利用M為線段AB中點(diǎn)，確定A，M坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動，可得線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；（2）當(dāng)時，弦長最短，從而得到直線m的方程；（3）設(shè)點(diǎn)，則，令，由直線與圓的位置關(guān)系得到的取值范圍.

（1）解：設(shè)點(diǎn)

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有

又點(diǎn)在圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程得：

點(diǎn)的軌跡方程為：

（2）由題意知，原心到直線的距離∴當(dāng)即

當(dāng)時，弦長最短，

此時圓的面積最小，圓的半徑，面積

又，所以直線斜率，又過點(diǎn)

故直線的方程為：

（3）設(shè)點(diǎn)，由于點(diǎn)

法一：所以，令

有，由于點(diǎn)在圓上運(yùn)動，故滿足圓的方程.

當(dāng)直線與圓相切時，取得最大或最小

故有

所以

法二：

∴從而