Question

（2013•朝陽區(qū)一模）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)(1，

3

2

)，離心率為

3

2

，點(diǎn)A為其右頂點(diǎn)．過點(diǎn)B（1，0）作直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF與直線x=3分別交于點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求

EM

•

FN

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，依題意可得a、b、c的方程組，解之可得方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)E在x軸上方，可得

EM

•

FN

=1；（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，寫直線的方程，聯(lián)立方程組，消y并整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．進(jìn)而由根與系數(shù)的關(guān)系表示出向量的數(shù)量積為1+

1

16k2+4

，由k的范圍可得其范圍，綜合可得．

解答：解：（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
依題意得

a2=b2+c2 c a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

解之可得a²=4，b²=1．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)E在x軸上方，
易得E(1，

3

2

)，F(xiàn)(1，-

3

2

)，M(3，-

3

2

)，N(3，

3

2

)，所以

EM

•

FN

=1．…（6分）
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），顯然k=0時(shí)，不符合題意．
由

y=k(x-1) x2+4y2-4=0

消y并整理得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

4k2+1

，x1x2=

4k2-4

4k2+1

．
直線AE，AF的方程分別為：y=

y1

x1-2

(x-2)，y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，則M(3，

y1

x1-2

)，N(3，

y2

x2-2

)．
所以

EM

=(3-x1，

y1(3-x1)

x1-2

)，

FN

=(3-x2，

y2(3-x2)

x2-2

)．…（10分）
所以

EM

•

FN

=(3-x1)(3-x2)+

y1(3-x1)

x1-2

•

y2(3-x2)

x2-2

=(3-x1)(3-x2)(1+

y1y2

(x1-2)(x2-2)

)=(3-x1)(3-x2)(1+k2•

(x1-1)(x2-1)

(x1-2)(x2-2)

)
=[x1x2-3(x1+x2)+9]×[1+k2•

x1x2-(x1+x2)+1

x1x2-2(x1+x2)+4

]
=(

4k2-4

4k2+1

-3•

8k2

4k2+1

+9)•(1+k2•

4k2-4 4k2+1 - 8k2 4k2+1 +1

4k2-4 4k2+1 -2• 8k2 4k2+1 +4

)
=(

16k2+5

4k2+1

)•(1+

-3k2

4k2

)=

16k2+5

16k2+4

=1+

1

16k2+4

．…（12分）
因?yàn)閗²＞0，所以16k²+4＞4，所以1＜

16k2+5

16k2+4

＜

5

4

，即

EM

•

FN

∈(1，

5

4

)．
綜上所述，

EM

•

FN

的取值范圍是[1，

5

4

)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題．