Question

試證明：在平面上所有過(guò)點(diǎn)（

2

，0）的直線(xiàn)中，至少通過(guò)兩個(gè)有理點(diǎn)（有理點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)）的直線(xiàn)有且只有一條．

Answer 1

①先證明直線(xiàn)的存在性：
由于直線(xiàn)y=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

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，0），且至少經(jīng)過(guò)兩個(gè)有理點(diǎn)（0，0）、（1，0），故一定存在過(guò)點(diǎn)（

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，0），且至少經(jīng)過(guò)兩個(gè)有理點(diǎn)的直線(xiàn)．
②再證明唯一性：假設(shè)除了直線(xiàn)y=0外，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

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，0），還有一條直線(xiàn)y=k（x-

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） 經(jīng)過(guò)2個(gè)不同的有理點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
其中，x₁，y₁，x₂，y₂都是有理數(shù)，且x₁≠x₂，y₁≠y₂．
則有 y1=k(x1-

2

)，且y2=k(x2-

2

)，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂），∴k=

y1-y2

x1-x2

 為有理數(shù)．
而由y1=k(x1-

2

) 可得k=

y1

x1- 2

 是無(wú)理數(shù)，矛盾，故假設(shè)不正確．
綜上，在平面上所有過(guò)點(diǎn)（

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，0）的直線(xiàn)中，至少通過(guò)兩個(gè)有理點(diǎn)（有理點(diǎn)指橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)）的直線(xiàn)有且只有一條．