試證明:在平面上所有通過點(,0)的直線中,至少通過兩個有理點(有理點指坐標x、y均為有理數(shù)的點)的直線有一條且只有一條.

      

證明:先證存在性.?

       因為直線y=0顯然通過點(,0),且直線y=0至少通過兩個有理點,例如它通過(0,0)和(1,0).這說明滿足條件的直線有一條.?

       再證唯一性.?

       假設除了直線y=0外還存在一條直線y=kx+b(k≠0或b≠0)通過點(,0),且該直線通過有理點A(x1,y1)與B(x2,y2),其中x1、y1、x2、y2均為有理數(shù).?

       因為直線y=kx+b通過點(,0),所以b=-k,于是y=k(x-),且k≠0.又直線通過A(x1,y1)與B(x2,y2)兩點,?

       所以y1=k(x1-),                            ①?

       y2=k(x2-).                                  ②?

       ①-②,得y1-y2=k(x1-x2).                     ③?

       因為A、B是兩個不同的點,且k≠0,所以x1≠x2,y1≠y2.?

       由③,得k=,且k是不等于零的有理數(shù).?

       由①,得=x1-.?

       此式的左邊是無理數(shù),右邊是有理數(shù),出現(xiàn)了矛盾.?

       所以,平面上通過點(2,0)的直線中,至少通過兩個有理點的直線只有一條.?

       綜上所述,滿足上述條件的直線有一條且只有一條.?


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

試證明：在平面上所有過點（
2
，0）的直線中，至少通過兩個有理點（有理點指橫、縱坐標均為有理數(shù)的點）的直線有且只有一條．

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2
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(本小題滿分14分)

設，是平面直角坐標系上的兩點，現(xiàn)定義由點到點的一種折線距離為

對于平面上給定的不同的兩點，,

（1）若點是平面上的點，試證明

（2）在平面上是否存在點，同時滿足

①    ②

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試證明：在平面上所有過點（，0）的直線中，至少通過兩個有理點（有理點指橫、縱坐標均為有理數(shù)的點）的直線有且只有一條．

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