Question

若函數(shù)f（x）的定義域是R，且對(duì)?x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）試判斷f（x）的奇偶性；
（2）若當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）若f（8）=4，求f（-

1

2

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，則可得f（0）=0；再令y=-x，即可證明f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)x₁＜x₂，由已知可得f（x₂-x₁）＞0，再利用f（x+y）=f（x）+f（y）及增函數(shù)的定義即可證明．
（3）利用賦值法，得到f（8）=f（4）+f（4）=2f（4）=4f（2）=8f（1）=16f（

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2

）=4，再利用函數(shù)奇函數(shù)，故求出答案

解答： 證明：（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，理由如下
由f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，
∴f（0）=f（0）+f（0）
即f（0）=0
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)
（2）函數(shù)y=f（x）是在上為增函數(shù)，理由如下，
設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）＞f（x₁）
∴函數(shù)y=f（x）是在上為增函數(shù)，
（3）∵f（8）=4，
∴f（8）=f（4）+f（4）=2f（4）=4f（2）=8f（1）=16f（

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）=4，
∴f（

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2

）=

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4

，
又函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-

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2

）=-f（

1

2

）=-

1

4

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，深刻理解函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及充分利用已知條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題