Question

已知F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°
（1）求橢圓離心率的范圍；
（2）求證：S△PF1F2=

3

3

b²．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）首先，根據(jù)橢圓的定義，可以設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，然后，在△PF₁F₂中，根據(jù)余弦定理，得cos60°=

m2+n2-4c2

2mn

，得到mn≤

(m+n)2

4

=a2，從而求解其離心率的范圍；
（2）結(jié)合S△PF1F2=

1

2

mn•sin60°=

3

4

mn，然后，借助于3mn=4a²-4c²=4b²，得到其面積為定值．

解答： 解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可以設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則
在△PF₁F₂中，根據(jù)余弦定理，得
cos60°=

m2+n2-4c2

2mn

=

(m+n)2-4c2-2mn

2mn

∴

1

2

=

4a2-4c2-2mn

2mn

，
∴3mn=4a²-4c²，
∵mn≤

(m+n)2

4

=a2，
∴a²≤4c²，
∴

c2

a2

≥

1

4

，
∴

1

2

≤e＜1，
（2）S△PF1F2=

1

2

mn•sin60°
=

3

4

mn，
根據(jù)（1）得3mn=4a²-4c²=4b²，
∴mn=

4

3

b²，
∴S△PF1F2=

3

4

×

4

3

b2
=

3

3

b2，
∴S△PF1F2=

3

3

b2．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的性質(zhì)、橢圓的概念、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等關(guān)系，屬于中檔題．