已知函數(shù)f（x）=ax2+2bx+c（a≠0），且f（1）=b．
（1）求證：存在x1，x2∈R，使得f（x1）=f（x2）=0；
（2）對（1）中的x1，x2，若（a-b）（a-c）＞0．
（I）求
ca
的取值范圍；
（II）求|x1-x2|的取值范圍．
分析：（1）欲證結論成立，即證原函數(shù)有兩個零點，可根據(jù)一元二次方程的根的判別式大于0得到；
（2）條件中f（1）=b可得b=-a-c，代入（a-b）（a-c）＞0，轉化成關于
c
a
的不等式解之即可；
欲求|x1-x2|的取值范圍，利用根與系數(shù)的關系，可將其轉化為
c
a
的函數(shù)，之后求此函數(shù)的值域．
解答：解：由于f（1）=a+2b+c=b，所以a+b+c=0，b=-a-c．
（1）因為△=（2b）2-4ac=4（b2-ac）=4[（-a-c）2-ac]
=4(c2+ca+a2)=4[(c+
1
2
a)2+
3
4
a2]＞0
所以二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個不同的交點，
故存在x1，x2∈R，使得f（x1）=f（x2）=0．
（2）（I）由于（a-b）（a-c）＞0，且b=-a-c，
得（2a+c）（a-c）＞0，兩邊同除以a2，
有(
c
a
+2)(
c
a
-1)＜0，所以-2＜
c
a
＜1．
（II）由（I）知，x1+x2=-
2b
a
，x1x2=
c
a

由于|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(-
2b
a
)2-4
c
a
=2
b2-ac
a2

=2
a2+c2+ac
a2
=2
(
c
a
)2+(
c
a
)+1
=2
(
c
a
+
1
2
)2+
3
4

因為-2＜
c
a
＜1，則-
3
2
＜
c
a
+
1
2
＜
3
2
，
所以2
3
4
≤|x1-x2|＜2
(±
3
2
)2+
3
4

即
3
≤|x1-x2|＜2
3
．
點評：二次函數(shù)是最基本的初等函數(shù)，我們可以以其為載體研究函數(shù)的單調性、奇偶性、最值等性質，也可建立起函數(shù)、方程、不等式三個二次之間的聯(lián)系．
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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2x
)＞3．

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f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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