Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E為棱PB的中點(diǎn)

（1）求證：平面PAB⊥平面CDE；

（2）若AD=CD=2，求點(diǎn)P到平面ADE的距離．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）要證明面面垂直，需證明線面垂直，取AP的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，根據(jù)題中所給的條件證明，即證明平面；

（2）利用等體積，根據(jù)所給的條件，易求，點(diǎn)到平面的距離就是，并且根據(jù)點(diǎn)，線，面的關(guān)系和邊長求的面積.

證明：（1）取AP的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，

∵E是PB中點(diǎn)，∴EF∥AB，EF=AB，

又CD∥AB，CD=AB， ∴CD∥EF，CD=EF

∴四邊形CDEF為平行四邊形，

∴DF∥CE，

又△PAD 為正三角形，

∴PA⊥DF，從而PA⊥CE，

又PA⊥CD，CD∩CE=C，

∴PA⊥平面CDE，

又PA平面PAB，

∴平面PAB⊥平面CDE．

⑵∵AB∥CD，AB⊥AD，

∴CD⊥AD，

又PA⊥CD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

又（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面PAD，

∴EF為三棱錐的E﹣PAD的高，且EF=CD=2，

易得△PAD的面積S△PAD=×22=，

在Rt△PAB中，PB=2，AE=PB=，

在矩形CDEF中，CD=2，CE=DF=，∴DE=

在△ADE中，AE=，DE=，AD=2，

∴△ADE的面積，

設(shè)點(diǎn)P到平面ADE的距離為d，由VP﹣ADE=VE﹣PAD得

××2=×d，

解得d= ∴點(diǎn)P到平面ADE的距離為