Question

已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點(diǎn)，M是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線MA交直線l：x=9于G點(diǎn)，直線MB交直線l于H點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試探求以GH為直徑的圓是否恒經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，∴，∴b²=a²-c²=8．
∴橢圓C的方程為：．…（4分）
（2）記直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，設(shè)M，A，B的坐標(biāo)分別為M（x₀，y₀），A（-3，0），B（3，0），
∴，，∴．
∵P在橢圓上，∴，∴，∴k₁•k₂=，
設(shè)G（9，y₁）H（9，y₂），則，．
∴，又k₁•k₂=．∴，∴y₁y₂=-64．…（8分）
因?yàn)镚H的中點(diǎn)為，|GH|=|y₁-y₂|，
所以，以GH為直徑的圓的方程為：．
令y=0，得（x-9）²=-y₁y₂=64，
∴x=1，x=17，將兩點(diǎn)（17，0），（1，0）代入檢驗(yàn)恒成立．
所以，以GH為直徑的圓恒過x軸上的定點(diǎn)（17，0），（1，0）．…（12分）
分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最近距離為2，建立方程組，求出幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（2）記直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，設(shè)M，A，B的坐標(biāo)分別為M（x₀，y₀），確定k₁•k₂=，進(jìn)一步確定以GH為直徑的圓的方程，令y=0，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查圓的方程的確定，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．