解:(1)由題意得
,∴
,∴b
2=a
2-c
2=8.
∴橢圓C的方程為:
.…(4分)
(2)記直線MA、MB的斜率分別為k
1、k
2,設(shè)M,A,B的坐標(biāo)分別為M(x
0,y
0),A(-3,0),B(3,0),
∴
,
,∴
.
∵P在橢圓上,∴
,∴
,∴k
1•k
2=
,
設(shè)G(9,y
1)H(9,y
2),則
,
.
∴
,又k
1•k
2=
.∴
,∴y
1y
2=-64.…(8分)
因?yàn)镚H的中點(diǎn)為
,|GH|=|y
1-y
2|,
所以,以GH為直徑的圓的方程為:
.
令y=0,得(x-9)
2=-y
1y
2=64,
∴x=1,x=17,將兩點(diǎn)(17,0),(1,0)代入檢驗(yàn)恒成立.
所以,以GH為直徑的圓恒過x軸上的定點(diǎn)(17,0),(1,0).…(12分)
分析:(1)根據(jù)橢圓
的離心率為
,橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最近距離為2,建立方程組,求出幾何量,從而可得橢圓C的方程;
(2)記直線MA、MB的斜率分別為k
1、k
2,設(shè)M,A,B的坐標(biāo)分別為M(x
0,y
0),確定k
1•k
2=
,進(jìn)一步確定以GH為直徑的圓的方程,令y=0,可得定點(diǎn)的坐標(biāo).
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì),考查圓的方程的確定,綜合性強(qiáng),屬于中檔題.