設(shè)f(x)=ln(x+1),(x>-1)
(1)討論函數(shù)數(shù)學(xué)公式(a≥0)的單調(diào)性.
(2)求證:數(shù)學(xué)公式(n∈N*

解:(1),令x2+x-a=0,
∵△=1+4a>0,∴g′(x)=0有兩根,設(shè)為x1與x2且x1<x2,
,,
當(dāng)a≥0時x1≤-1,x2≥0,
∴當(dāng)a≥0時g(x)在(-1,x2)上遞增,在(x2,+∞)遞減.
(2)原命題等價于證明ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<,
由(1)知,∴,
,得ln(1+)≤+ln2-,
所以ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)≤(1++++…+)+(ln2-)n
(1++++…+)+(ln2-)n=(2-)+(ln2-)n<+(ln2-)n,
只需證即可,即,
,,
,∴
∴l(xiāng)n(1+)+ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<,

分析:(1)求導(dǎo)數(shù),在定義域內(nèi)解不等式g′(x)>0,g′(x)<0即可;
(2)原命題等價于證明ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<,取a=2,由(1)問知g(x)≤g(1),由此得一不等式,令,得關(guān)于n的不等式,結(jié)合結(jié)論對不等式進行適當(dāng)放縮求和即可.
點評:本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及證明不等式問題,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx-
1
2
ax2+bx(a>0),且f′(1)=0
(1)試用含有a的式子表示b,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為g(a),試證明不等式:g(a)>ln(1+
a
2
)-1
(3)首先閱讀材料:對于函數(shù)圖象上的任意兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)圖象上存在點M(x0,y0)(x0∈(x1,x2)),使得f(x)在點M處的切線l∥AB,則稱AB存在“相依切線”特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時,則稱AB存在“中值相依切線”.請問在函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩點A(x1,y1),B(x2,y2),使得AB存在“中值相依切線”?若存在,求出一組A、B的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•遼寧)設(shè)f(x)=ln(x+1)+
x+1
+ax+b(a,b∈R,a,b為常數(shù)),曲線y=f(x)與直線y=
3
2
x在(0,0)點相切.
(I)求a,b的值;
(II)證明:當(dāng)0<x<2時,f(x)<
9x
x+6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(0)-e-x=-1,函數(shù)g(x)=-λlnf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù).
(1)當(dāng)x≥0時,曲線y=f(x)在點M(t,f(t))的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t),求S(t)的最大值;
(2)若g(x)<t2+λt+1在x∈[-1,1]時恒成立,求t的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=-lnf(x)-ln(x+m),常數(shù)m∈Z,且m>1,試判定函數(shù)h(x)在區(qū)間[e-m-m,e2m-m]內(nèi)的零點個數(shù),并作出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•洛陽模擬)設(shè)f(x)=ln(|x-1|+m|x-2|-3)(m∈R)
(Ⅰ)當(dāng)m=1時,求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)若當(dāng)1≤x≤
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,f(x)≥0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=ln(x+1),(x>-1)
(1)討論函數(shù)g(x)=af(x)-
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x2
(a≥0)的單調(diào)性.
(2)求證:(1+
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)(1+
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)(1+
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)…(1+
1
n
)<e
n+2
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(n∈N*

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