Question

設a＞0，定點F（a，0），直線l：x=-a交x軸于點H，點B是l上的動點，過點B垂直于l的直線與線段BF的垂直平分線交于點M．
（I）求點M的軌跡C的方程；
（II）設直線BF與曲線C交于P，Q兩點，證明：向量

HP

、

HQ

與

HF

的夾角相等．

Answer 1

分析：（I）連接MF根據(jù)題意可推斷出|MF|=|MB|，進而根據(jù)拋物線的定義推知C的方程．
（II）設P，Q的坐標和直線BF的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出x₁x₂，令

HP

與

HF

的夾角為θ₁，

HQ

與

HF

的夾角為θ₂，利用向量的數(shù)量積的運算可分別求得cosθ₁和cosθ₂的表達式，結果相等，根據(jù)θ₁和θ₂的范圍，推斷出二者相等．

解答：（I）解：連接MF，依題意有|MF|=|MB|，
所以動點M的軌跡是以F（a，0）為焦點，直線l：x=-a為準線的拋物線，
所以C的方程為y²=4ax．（5分）
（II）解：設P，Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
依題意直線BF的斜率存在且不為0，設直線BF的方程為y=k（x-a）（k≠0），
將其與C的方程聯(lián)立，消去y得k²x²-2a（k²+2）x+a²k²=0
故x₁x₂=a²．
記向量

HP

與

HF

的夾角為θ₁，

HQ

與

HF

的夾角為θ₂，其中0＜θ₁，θ₂＜π，
因為

HP

=(x1+a，y1)，

HF

=(2a，0)，
所以cosθ1=

HP • HF

|HP| • |HF|

=

2ax1+2a2

2a (x1+a)2+ y 2 1

=

x1+a

x 2 1 +6ax1+a2

；
同理cosθ2=

x2+a

x 2 2 +6ax2+a2

=

a2 x1 +a

a4 x 2 1 +6 a3 x1 +a2

=

x1+a

x 2 1 +6ax1+a2

因為cosθ₁=cosθ₂，且0＜θ₁，θ₂＜π，
所以θ₁=θ₂，即

HP

、

HQ

與

HF

的夾角相等．

點評：本題主要考查了拋物線的定義，本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，向量的數(shù)量積的運算．考查了學生數(shù)形結合思想的運用和分析問題的能力．