如圖，已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），求p的值．
因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)y2=2px上，設(shè)點(diǎn)A（
y12
2p
，y1），B（
y22
2p
，y2）
∵
OA
⊥
OB
∴
OA
•
OB
=
y12
2p
•
y22
2p
+y1y2=0⇒y1y2(
y1y2
4p2
+1)=0
∵y1y2≠0，∴
y1y2
4p2
+1=0⇒y1y2=-4p2…①
∵直線(xiàn)AB的斜率為k=
y1-y2
y12
2p
-
y22
2p
=
2p
y1+y2

∴直線(xiàn)AB的方程為y-y1=
2p
y1+y2
(x-
y12
2p
)，
令y=0，得-y1=
2p
y1+y2
(x-
y12
2p
)⇒-y12-y1y2=2px-y12
∴-y1y2=2px…②
將①代入②，得4p2=2px⇒x=2p
所以直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)M（2p，0）
∵OD⊥AB，OD的斜率為k1=
0-1
0-2
=
1
2

∴直線(xiàn)AB的斜率為k=
-1
k1
=-2，
∴結(jié)合D、M的坐標(biāo)，可得k=
0-1
2p-2
=-2，解之得p=
5
4
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，且過(guò)點(diǎn)（1，2），則拋物線(xiàn)的方程式為（　　）
A．y2=4xB．y2=±4x
C．x2=4y或y2=4xD．以上都不對(duì)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

求滿(mǎn)足下列條件的曲線(xiàn)方程：
（1）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(-2
3
，1)，Q(
3
，-2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）與雙曲線(xiàn)
x2
9
-
y2
16
=1有公共漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3，2
3
）的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）焦點(diǎn)在直線(xiàn)x+3y+15=0上的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1的左焦點(diǎn)，且與x軸垂直，拋物線(xiàn)與此雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)(
3
2
，
6
)，求拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知△FAB，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)A、B分別在圖中拋物線(xiàn)y2=4x及圓（x-1）2+y2=4的實(shí)線(xiàn)部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總是平行于x軸，那么△FAB的周長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)_____．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知以向量
v
=(1，
1
2
)為方向向量的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(0，
5
4
)，拋物線(xiàn)C：y2=2px（p＞0）的頂點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A、B是拋物線(xiàn)C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A作平行于x軸的直線(xiàn)m，直線(xiàn)OB與直線(xiàn)m交于點(diǎn)N，若
OA
•
OB
+p2=0（O為原點(diǎn)，A、B異于原點(diǎn)），試求點(diǎn)N的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足方程（x-a+1）2+（y-1）2=1，當(dāng)0≤y≤b（b∈R）時(shí)，由此方程可以確定一個(gè)偶函數(shù)y=f（x），則拋物線(xiàn)y=-
1
2
x2的焦點(diǎn)F到點(diǎn)（a，b）的軌跡上點(diǎn)的距離最大值為_(kāi)_____．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y2=4x與過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，則
OA
•
OB
=（　�。�
A．-
3
4
B．
3
4
C．-3D．3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

拋物線(xiàn)x=
1
8
y2的準(zhǔn)線(xiàn)方程是（　　）
A．x=-4B．x=-2C．y=-4D．y=-2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案