已知f(x)=
1
4
x4+
1
3
x3+
1
2
ax2+b
x+c.
(1)如果b=0,且f(x)在x=1時取得極值,求a的值,并指出這個極值是極大值還是極小值,說明理由;
(2)當a=-1時,如果函數(shù)y=f(x)的圖象上有三個不同點處的切線與直線x+2y+3=0垂直,求b的取值范圍.
分析:(1)先求導數(shù)f'(x)=x3+x2+ax,根據(jù)x=1是f(x)的極值點,求出a值,從而得出f'(x)=x3+x2-2x=x(x2-x-2=x(x-1)(x+2),再討論當0<x<1時,f'(x)<0,當x>1時,f'(x)>0,從而得出結論.
(2)當a=-1時,f'(x)=x3+x2-x+b,直線x+2y+3=0的斜率為-
1
2
,依題意,方程x3+x2-x+b=2有三個不等的實根.設g(x)=x3+x2-x+b-2,利用導數(shù)求得g(x)極值,由函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點,尋求函數(shù)的極值點,得到極值,通過比較函數(shù)的極值與參數(shù)b之間的關系即可得到答案.
解答:解:(1)由題意f(x)=
1
4
x4+
1
3
x3+
1
2
ax2+b
x+c,b=0,
∴f'(x)=x3+x2+ax,
∵x=1是f(x)的極值點,
∴f'(1)=a+2=0,a=-2.
此時,f'(x)=x3+x2-2x=x(x2-x-2)=x(x-1)(x+2)
所以0<x<1時,f'(x)<0,當x>1時,f'(x)>0
因此f(x)在x=1處取得極小值.
(2)當a=-1時,f'(x)=x3+x2-x+b,直線x+2y+3=0的斜率為-
1
2
,
依題意,函數(shù)y=f(x)的圖象上有三個不同點處的切線與直線x+2y+3=0垂直
∴方程x3+x2-x+b=2有三個不等的實根.
設g(x)=x3+x2-x+b-2,
由g'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)=0,
得x1=-1,x2=
1
3

當x變化時,g'(x),g(x)的變化狀態(tài)如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,
1
3
1
3
1
3
,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
知,g(x)在x=-1處取得極大值,在x=
1
3
處取得極小值.
極大值為g(-1)=b-1,極小值為g(
1
3
)=b-
59
27
,
由b-1>0,且b-
59
27
<0,
得b的取值范圍:1<b<
59
27
點評:本題考查函數(shù)的導數(shù)以及導數(shù)的幾何意義,利用導數(shù)求解函數(shù)的單調性和極值問題,考查了二次函數(shù)的性質,綜合考查了函數(shù)與方程的思想,轉化與化歸的思想等數(shù)學思想,在求含參數(shù)的函數(shù)的單調區(qū)間時對學生的能力有較高的要求.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=
1
4x+m
(m>0)
,當x1、x2∈R且x1+x2=1時,總有f(x1)+f(x2)=
1
2

(1)求m的值;
(2)設數(shù)列an滿足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)
,求an的通項公式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=
1
4x+2
(x∈R)
,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是函數(shù)y=f(x)圖象上兩點,且線段P1P2中點P的橫坐標是
1
2

(1)求證點P的縱坐標是定值; 
(2)若數(shù)列{an}的通項公式是an=f(
n
m
)
(m∈N*),n=1,2…m),求數(shù)列{an}的前m項和Sm; 
(3)在(2)的條件下,若m∈N*時,不等式
am
Sm
am+1
Sm+1
恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=
1
4x+m
 (m>0)
,當x1、x2∈R且x1+x2=1時,總有f(x1)+f(x2)=
1
2

(1)求m的值;
(2)設數(shù)列{an}滿足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)
,求{an}的通項公式;
(3)對?n∈N*
kn
an
kn+1
an+1
恒成立,求k的取值范圍(其中k>0且k≠1).

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科目:高中數(shù)學 來源:東城區(qū)2001~2002學年度第一學期教學目標檢測 高一數(shù)學-~+A、B 題型:013

已知f(x-3)=+2x+1,則f(x+3)等于

[  ]

A.+14x+49

B.+8x+16

C.-4x+2

D.-14x+49

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:013

已知f(x-3)=+2x+1,則f(x+3)等于

[  ]

A.+14x+49

B.+8x+16

C.-4x+2

D.-14x+49

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