Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，平面SAD⊥平面ABCD，SE⊥AD于點E，CD=DE=2AB=2AE，
（1）證明：平面SBE⊥平面SEC；
（2）若SE=BE，求直線CE與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出∠AEB=∠ABE=45°，∠DEC=∠DCE=45°，從而得到CE⊥BE，又由∠SE⊥AD，得到SE⊥CE，進(jìn)而得到CE⊥平面SAE，由此能證明平面SBE⊥平面SEC．
（2）以E為原點，EB、EC、ES分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CE與平面SBC所成角的正弦值．

解答： （1）證明：CD=DE=2AB=2AE，∠BAD=90°，AB∥CD，
∴∠CDE=90°，且∠AEB=∠ABE=45°，
同理∠DEC=∠DCE=45°，
∴∠BEC=90°，即CE⊥BE，
又∵平面CAD⊥平面ABCD，
∴∠SE⊥AD，平面ABCD∩平面SAD=AD，CE?平面ABCD，
∴SE⊥CE，又∵SE∩BE=E，∴CE⊥平面SAE，
又∵CE?平面SEC，∴平面SBE⊥平面SEC．
（2）以E為原點，EB、EC、ES分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)CD=DE=2AB=2AE=2，且SE=BE=

2

，
則C（0，2

2

，0），B（

2

，0，0），S（0，0，

2

），E（0，0，0），
∴

BC

=(-

2

，2

2

，0)，

SB

=(

2

，0，-

2

)，

CE

=(0，-2

2

，0)，
設(shè)平面SBC的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • BC =- 2 x+2 2 y=0 n • SB = 2 x- 2 x=0

，取x=

2

，得

n

=(

2

，

1

2

，

2

)，
設(shè)直線CE與平面SBC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

CE

＞|=|

(-2 2 )• 1 2

(-2 2 )2 • 2+ 1 2 +2

|=

1

3

．
∴直線CE與平面SBC所成角的正弦值是

1

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．